Решить систему уравнений:
$$\left\{\begin{aligned}
&\sin2x-2\sin x+\cos x-1=0, \\
&\sqrt{3y^2-3y}=2\sqrt2\cos x.
\end{aligned}\right.$$
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений:
$$\left\{\begin{aligned}
&\sin2x-\sin x+2\cos x-1=0, \\
&y^2-5y+12\cos x=0.
\end{aligned}\right.$$
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений:
$$\left\{\begin{aligned}
&\sin2x+2\sin x-\cos x-1=0, \\
&y^2-5y+12\sin x=0.
\end{aligned}\right.$$
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений:
$$\left\{\begin{aligned}
&\sin2y-\sin y-2\cos y+1=0, \\
&x^2-4x+6\cos y=0.
\end{aligned}\right.$$
Ответ:
Решение:
Найти решения $(x;y)$ системы \[ \begin{cases} \sin(2x+y)=-1,\\ \cos(x-y)=1 \end{cases} \] в прямоугольнике $-\pi\leqslant x\leqslant\pi/2$, $-\pi/2\leqslant y\leqslant\pi/2$.
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} \operatorname{tg}x+\operatorname{tg}\dfrac y2=\dfrac{4}{\sqrt3},\\ \operatorname{ctg}x+\operatorname{ctg}\dfrac y2=\dfrac{4}{\sqrt3}. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[ \begin{cases} 6\sin x\cos y+2\cos x\sin y=-3,\\ 5\sin x\cos y-3\cos x\sin y=1. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее значение может принимать модуль синуса суммы углов, удовлетворяющих системе уравнений: \[ \begin{cases} \mathrm{tg}\,x=\dfrac{20}{9}\cos y,\\ \mathrm{tg}\,y=\dfrac{20}{9}\cos z,\\ \mathrm{tg}\,z=\dfrac{20}{9}\cos x\ ? \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Числа $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства \[ \sin y+\cos x=\sin 3x\quad\text{и}\quad \sin 2y-\sin 2x=\cos 4x-\cos 2x. \] Какое наименьшее значение может принимать сумма $\cos y+\sin x$?
Ответ:
Решение:
Каждое из четырех чисел $\frac12$; $\frac12$; $\frac32$; $2$ является результатом одной из четырех арифметических операций $\sin x+\sin y$, $\sin x-\sin y$, $\sin x\cdot\sin y$, $\sin x:\sin y$ над числами $\sin x$, $\sin y$ для некоторых $x$ и $y$. Найти все допустимые для этого пары $(x;y)$.
Ответ:
Решение:
При каких значениях $a$ точка с координатами $(\sin a;\sin 3a)$ симметрична точке с координатами $(\cos a;\cos 3a)$ относительно прямой с уравнением $x+y=0$?
Ответ:
Решение:
Координаты $(x;y)$ точек в квадрате $\{(x;y)\colon 0\leqslant x\leqslant2\pi,\ 0\leqslant y\leqslant2\pi\}$ удовлетворяют системе уравнений \[ \begin{cases} \sin x+\sin y=\sin1,\\ \cos x+\cos y=\cos1. \end{cases} \] Сколько таких точек находится в квадрате? Найти координаты $(x;y)$ наиболее удаленной точки от центра квадрата.
Ответ:
Решение:
Пары чисел $(x;y)$ связаны соотношениями \[ \dfrac{\sin x}{1+\sin y-\sin x}=\dfrac{\sin y}{1+\sin x-\sin y}=\dfrac{1}{\sin x+\sin y-1}. \] Найдите наименьшее возможное значение величины $\sin^2x-\frac16\cos2y$.
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} \sin x+\sqrt{2}\cos y=\dfrac{3}{2},\\ \sqrt{2}\sin y+\sqrt{3}\cos x=\dfrac{5}{2}. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее значение выражения $\cos(x+y+z)$, если числа $x$, $y$, $z$ являются решениями системы \[ \begin{cases} \sqrt{\frac59+\cos x}=\frac34\sin z+\frac23\operatorname{ctg} z,\\ \sqrt{\frac59+\cos y}=\frac34\sin x+\frac23\operatorname{ctg} x,\\ \sqrt{\frac59+\cos z}=\frac34\sin y+\frac23\operatorname{ctg} y. \end{cases} \] Ответ округлите до тысячных.
Ответ:
Решение:
Дана система уравнений \[ \begin{cases} \sin(x+y)=9\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right),\\ \cos(x+2y)-\sqrt3\sin(x+2y)=-16\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right). \end{cases} \] Найдите все возможные значения выражения $\operatorname{tg}x-\operatorname{tg}y$, если известно, что оно определено и что этих значений не меньше двух.
Ответ:
Решение: