Вокруг куба $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ описана сфера. На ребре $CC_{1}$ взята точка $M$, при этом плоскость $ABM$ образует угол $15^{\circ}$ с плоскостью $ABC$.
а) Докажите, что расстояние от центра сферы до плоскости $ABM$ вдвое меньше радиуса окружности, описанной около грани куба. б) Найдите длину линии пересечения плоскости $ABM$ и сферы, если ребро куба равно 2.
а) Докажите, что расстояние от центра сферы до плоскости $ABM$ вдвое меньше радиуса окружности, описанной около грани куба. б) Найдите длину линии пересечения плоскости $ABM$ и сферы, если ребро куба равно 2.
Ответ:
Решение:
Точка $P$ лежит на диаметре $AB$ сферы. При этом $AP:PB=3:1$. Через прямую $AB$ проведена плоскость $\alpha$, а через точку $P$ — плоскость $\beta$, перпендикулярная $AB$. Отрезок $CD$ — общая хорда окружностей сечений сферы эти плоскостями, $S$ — окружность пересечения сферы с плоскостью $\beta$, $M$ — точка, лежащая на окружности $S$.
а) Докажите, что $AM=CD$.
б) Найдите объём пирамиды с вершиной $M$ и основанием $ACBD$, если диаметр сферы равен 12, а $M$ — наиболее удалённая от плоскости $\alpha$ точка окружности $S$.
а) Докажите, что $AM=CD$.
б) Найдите объём пирамиды с вершиной $M$ и основанием $ACBD$, если диаметр сферы равен 12, а $M$ — наиболее удалённая от плоскости $\alpha$ точка окружности $S$.
Ответ:
Решение:
Шар вписан в прямую четырёхугольную призму
а) Докажите, что суммы площадей противоположных боковых граней призмы равны.
б) Найдите отношение объёмов шара и призмы, если периметр основания призмы в четыре раза больше диаметра шара.
а) Докажите, что суммы площадей противоположных боковых граней призмы равны.
б) Найдите отношение объёмов шара и призмы, если периметр основания призмы в четыре раза больше диаметра шара.
Ответ:
Решение:
В основании треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $AB=4\sqrt3$, боковое ребро $SA$ пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно $6$. Найти:
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.
Ответ:
Решение:
В основании треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $AB=5\sqrt3$, боковое ребро $SA$ пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно $24$. Найти:
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.
Ответ:
Решение:
В основании треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $AB=24\sqrt3$, боковое ребро $SA$ пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно $14$. Найти:
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.
Ответ:
Решение:
В основании треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $AB=3\sqrt3$, боковое ребро $SA$ пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно $8$. Найти:
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.
а) радиус $R$ сферы, описанной около пирамиды;
б) радиус $r$ сферы, вписанной в пирамиду.
Ответ:
Решение:
Искусственный спутник (ИСЗ) движется по круговой орбите вокруг Земли (имеет форму шара) на высоте $H$, равной радиусу Земли $R=6372$ км, с периодом обращения $T=4$ ч и постоянной угловой скоростью $\omega=\frac{2\pi}{T}$. Для того, чтобы можно было наблюдать за спутником с поверхности Земли, он должен находиться выше плоскости горизонта. Определите: а) продолжительность наблюдения за спутником (в минутах) от момента его появления над горизонтом до момента захода за горизонт, если траектория ИСЗ проходит ровно над головой наблюдателя; б) плоский угол при вершине конуса обзора поверхности Земли с ИСЗ (в градусах).
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABC$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB^2=BC^2=160$, $AC^2=320$). Сфера, проходящая через вершины $A$, $B$, $C$, делит рёбра $SA$ и $SC$ пополам и пересекает ребро $SB$ в точке $B_1$. Найдите радиус сферы, если $SB_1=9$, $BB_1=1$. В ответ запишите квадрат радиуса сферы.
Ответ:
Решение:
Отрезок $AB=8$ пересекает плоскость $\alpha$ под углом $30^\circ$ и делится этой плоскостью в отношении $1:3$. Найдите радиус сферы, проходящей через точки $A$ и $B$ и пересекающей плоскость $\alpha$ по окружности наименьшего радиуса.
Ответ:
Решение:
Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды $SABC$ равен $\mathrm{arctg}\,3$. В каком отношении делит боковую сторону $SB$ сфера, центр которой лежит в плоскости основания, если известно, что вершины основания принадлежат сфере?
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $SABC$ из вершины $S$ опустили высоту $SH$. Известно, что $SH=2\sqrt{3}$, $AB\gt BC$, $AB\gt AC$. Сфера, построенная на отрезке $SH$ как на диаметре, проходит через середины четырёх рёбер пирамиды.
а) Найдите длину ребра $AB$ и угол $ACB$.
б) Пусть дополнительно известно, что прямая, проходящая через вершину $C$ и середину ребра $SB$, касается сферы. Найдите объём пирамиды $SABC$.
а) Найдите длину ребра $AB$ и угол $ACB$.
б) Пусть дополнительно известно, что прямая, проходящая через вершину $C$ и середину ребра $SB$, касается сферы. Найдите объём пирамиды $SABC$.
Ответ:
Решение:
Через четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$, попарные расстояния между которыми равны $\sqrt{15}$, проведена сфера $S$. Через точки $E$ и $F$, расположенные на ребрах $AB$ и $CD$ пирамиды $ABCD$ соответственно, проведена прямая, пересекающая сферу в точках $M$ и $N$, ($E\in[M,F]$). Известно, что точки $E$ и $F$ делят хорду $MN$ в отношении $ME:EF:FN=1:2:3$. Найти длину отрезка $ME$.
Ответ:
Решение:
В желобе, имеющем форму двугранного угла величины $2\arcsin\frac{1}{3}$, неподвижно лежит шар радиуса 3, касаясь при этом обеих граней. Другой шар скользит вдоль желоба, также постоянно касаясь каждой из граней, и проскальзывает мимо неподвижно лежащего шара, не сталкиваясь с ним и даже не касаясь его. Найдите все возможные значения радиуса скользящего шара.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $SABC$ в основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AC$. Боковые грани $SAB$ и $SAC$ перпендикулярны плоскости $ABC$. Сфера радиусом, равным $AC$, с центром в точке $S$ делит пирамиду на две части. Найдите объём большей из этих частей, если $SA=AB=2$.
Ответ:
Решение:
На сфере расположены точки $A$, $B$, $C$ таким образом, что минимальные расстояния по поверхности сферы от точки $A$ до точки $B$, от точки $A$ до точки $C$ и от точки $B$ до точки $C$ равны $6\pi$, $8\pi$, $10\pi$ соответственно. Найдите минимальный возможный при таких условиях периметр треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Один фермер сварил сыр в виде неправильной пятиугольной призмы, а другой — в виде правильной четырёхугольной пирамиды, высота которой в $2$ раза меньше стороны основания. Ночью мыши отъели от всех вершин этих многогранников все частицы сыра, которые находились на расстоянии не большем $1$ см от соответствующей вершины. У съеденных кусков сыра не было общих частиц. Какой из фермеров понёс больший ущерб и во сколько раз?
Ответ:
Решение:
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а высота — $a/2$. Найдите объём тела, ограниченного поверхностью этой пирамиды и сферами радиуса $a/3$ с центрами в вершинах основания этой пирамиды.
Ответ:
Решение:
Про тетраэдр $PQRS$ известно, что $PQ=4$, $SR=6$, $\angle QRS=\angle PSR=50^\circ$, $\angle QSR=\angle PRS=40^\circ$. Вокруг тетраэдра описана сфера. Рассмотрим на этой сфере множество всех точек, сумма сферических расстояний от которых до точек $P$, $Q$, $R$, $S$ не меньше $6\pi$. Чему равна площадь этого множества? Сферическое расстояние между двумя точками на сфере — длина наименьшей дуги окружности большого круга, соединяющей эти точки.
Ответ:
Решение:
В $2022$ году исполняется $65$ лет запуска первого искусственного спутника Земли (ИСЗ). В настоящее время для обеспечения бесперебойной работы сотовой связи, систем теле и радиовещания используются различные виды спутников, находящихся на различных орбитах, на различных высотах.
Зоной покрытия спутника назовем часть поверхности земного шара, в пределах которой обеспечивается уровень сигналов к спутнику и от него, необходимый для их приема с заданным качеством в конкретный момент времени. Как правило, эта часть поверхности ограничивается окружностью, проходящей по линии видимого горизонта. На рисунке - линия проходит через точку Г.
а) Определите площадь земной поверхности (в км$^2$), которая является зоной покрытия спутника, находящегося на высоте $H=500$ км относительно земной поверхности, считая ее сферой радиуса $R=6400$ км c центром в точке $O$.
б) Найдите все значения $n\gt 1$, для которых на поверхности земли можно расположить окружности $C_1,\ \ldots,\ C_n$, каждая из которых внешним образом касается окружности $C_0$, с центром в точке $A$ и радиусом $r\lt R$, каждая из них является границей зоны покрытия ИСЗ, находящегося на той же высоте $H$, что и спутник с зоной покрытия $C_0$. Каждая из зон покрытия $C_i$ должна внешним образом касаться окружностей $C_0$ и $C_{i+1}$, $i=0,1,\ldots,n-1$, т. е. первая касается $C_0$ и $C_2$, вторая — $C_0$ и $C_3$, и т. д. Окружность $C_n$ должна касаться $C_0$ и $C_1$.
Зоной покрытия спутника назовем часть поверхности земного шара, в пределах которой обеспечивается уровень сигналов к спутнику и от него, необходимый для их приема с заданным качеством в конкретный момент времени. Как правило, эта часть поверхности ограничивается окружностью, проходящей по линии видимого горизонта. На рисунке - линия проходит через точку Г.
а) Определите площадь земной поверхности (в км$^2$), которая является зоной покрытия спутника, находящегося на высоте $H=500$ км относительно земной поверхности, считая ее сферой радиуса $R=6400$ км c центром в точке $O$.
б) Найдите все значения $n\gt 1$, для которых на поверхности земли можно расположить окружности $C_1,\ \ldots,\ C_n$, каждая из которых внешним образом касается окружности $C_0$, с центром в точке $A$ и радиусом $r\lt R$, каждая из них является границей зоны покрытия ИСЗ, находящегося на той же высоте $H$, что и спутник с зоной покрытия $C_0$. Каждая из зон покрытия $C_i$ должна внешним образом касаться окружностей $C_0$ и $C_{i+1}$, $i=0,1,\ldots,n-1$, т. е. первая касается $C_0$ и $C_2$, вторая — $C_0$ и $C_3$, и т. д. Окружность $C_n$ должна касаться $C_0$ и $C_1$.
Ответ:
Решение: