Задачи геометрического и физического толка на составление и решение дифференциальных уравнений первого порядка.
Найти линию, проходящую через точку $(2,0)$ и обладающую тем свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осью ординат имеет постоянную длину, равную двум.
Ответ:
Решение:
Найти все линии, у которых подкасательная пропорциональна абсциссе точки касания (с коэффициентом пропорциональности $k$). (Подкасательная — отрезок на оси абсцисс, заключенный между абсциссой точки касания и абсциссой точки пересечения касательной с осью абсцисс).
Ответ:
Решение:
Найти линию, проходящую через точку $(a,1)$ и имеющую постоянную подкасательную, равную $a$. (Подкасательная — отрезок на оси абсцисс, заключенный между абсциссой точки касания и абсциссой точки пересечения касательной с осью абсцисс).
Ответ:
Решение:
Найти все линии, у которых отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.
Ответ:
Решение:
Найти уравнение кривой, для которой отрезок, отсекаемый на оси ординат нормалью в любой точке кривой, равен расстоянию этой точки от начала координат.
Ответ:
Решение:
Найти кривую, у которой подкасательная вдвое больше абсциссы точки касания. (Подкасательная — отрезок на оси абсцисс, заключенный между абсциссой точки касания и абсциссой точки пересечения касательной с осью абсцисс).
Ответ:
Решение:
Найти линию, проходящую через точку $(1;~1)$, у которой касательная в любой точке пересекает ось ординат в точке с ординатой, равной абсциссе точки касания.
Ответ:
Решение:
Найти все линии, у которых расстояние от начала координат до касательной в любой точке равно абсциссе точки касания.
Ответ:
Решение:
Найти все линии, у которых отрезок касательной, заключённый между осями координат, делится точкой касания пополам.
Ответ:
Решение:
Найти все линии $y=f(x)$, где $f(x)>0$ при $x>0$, для которых площадь криволинейной трапеции под линией на отрезке $[0;x]$ составляет треть площади прямоугольника со сторонами $x$ и $f(x)$.
Ответ:
Решение: