Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 5, но не дойдя до отметки 11.
Ответ:
Решение:
В круг радиуса $R$ наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка попала внутрь квадрата, вписанного в этот круг?
Ответ:
Решение:
Рассматриваются всевозможные прямоугольники, вписанные в полуокружность радиуса $R=5$ так, что две вершины прямоугольника лежат на её диаметре, а две другие — на дуге полуокружности. Найти вероятность того, что площадь такого прямоугольника окажется больше чем 24.
Ответ:
Решение:
Рассматриваются всевозможные прямоугольники, вписанные в полуокружность радиуса $R=10$ так, что две вершины прямоугольника лежат на её диаметре, а две другие — на дуге полуокружности. Найти вероятность того, что площадь такого прямоугольника окажется меньше чем 96.
Ответ:
Решение:
Дима посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером 15 см на 20 см круглую кляксу радиусом 2 см. Сразу после этого Дима посадил ещё одну такую кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы пересекаются.
Ответ:
Решение:
На окружности совершенно случайно взяты три точки $A$, $B$ и $C$. Найти вероятность того, что треугольник $ABC$ тупоугольный.
Ответ:
Решение:
В квадрате $ABCD$ со стороной 4 расположена точка $O$, отстоящая от сторон $AD$ и $CD$ на расстояние 1. Через точку $O$ совершенно случайно проведена прямая $L$, разделяющая квадрат на две части. Найти вероятность того, что одна из частей будет иметь площадь, не превосходящую 3.
Ответ:
Решение:
На сторонах $BA$ и $BC$ треугольника $ABC$ совершенно случайно взяты точки $M$ и $N$. Найти вероятность того, что площадь треугольника $BMN$ окажется не больше половины площади треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
На боковых ребрах $DA$ и $DB$ правильной треугольной пирамиды $ABCD$ совершенно случайно взяты точки $M$ и $N$. Найти вероятность того, что площадь боковой поверхности пирамиды $MNCD$ с вершиной в точке $D$ составляет не более половины площади боковой поверхности пирамиды $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Точки $P$, $Q$ расположены на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ так, что $AP:PB=2:1$, $AQ:QC=1:3$. Точка $M$ выбрана на стороне $BC$ совершенно случайно. Найти вероятность того, что площадь треугольника $ABC$ превосходит площадь треугольника $PQM$ не более, чем в три раза. Найти математическое ожидание случайной величины — отношения площадей треугольников $PQM$ и $ABC$.
Ответ:
Решение:
На часах две стрелки: часовая и минутная. В случайный момент времени часы остановились. Найдите вероятность того, что угол между стрелками на остановившихся часах острый.
Ответ:
Решение:
Митя собирается согнуть квадратный лист бумаги $ABCD$. Митя называет сгиб красивым, если сторона $AB$ пересекает сторону $CD$ и четыре получившихся прямоугольных треугольника равны.
Перед этим Ваня выбирает на листе случайную точку $F$. Найдите вероятность того, что Митя сможет сделать красивый сгиб, проходящий через точку $F$.
Перед этим Ваня выбирает на листе случайную точку $F$. Найдите вероятность того, что Митя сможет сделать красивый сгиб, проходящий через точку $F$.
Ответ:
Решение:
На стене висит мишень, состоящая из пяти зон: центральный круг (яблочко) и четыре разноцветных кольца (см. рисунок). Ширина каждого кольца равна радиусу яблочка. Известно, что число очков за попадание в каждую зону обратно пропорционально вероятности попасть в эту зону и что яблочко стоит 315 очков. Сколько очков стоит попадание в синюю (предпоследнюю) зону?
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ выбирают случайную точку $M$. Какова вероятность, что площадь одного из треугольников $ABM$, $BCM$ и $CAM$ окажется больше суммы площадей двух других?
Ответ:
Решение:
У Рассеянного Ученого было число 1. При помощи генератора случайных чисел независимо друг от друга Ученый выбирает еще два случайных действительных числа из отрезка $[0;\,3]$. Какова вероятность того, что можно будет построить треугольник, длины сторон которого равны трем имеющимся у Ученого числам?
Ответ:
Решение:
Верхняя сторона бумажного квадрата белая, а нижняя — красная. В квадрате случайным образом выбирается точка $F$. Затем квадрат сгибают так, чтобы одна случайно выбранная вершина наложилась на точку $F$. Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося красного многоугольника.
Ответ:
Решение:
В бумажном квадрате случайным образом выбирается точка $O$. Затем квадрат сгибают так, чтобы каждая вершина наложилась на точку $O$. На рисунке показана одна из возможных схем складывания.
Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося многоугольника.
Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося многоугольника.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $40^\circ$. Треугольник случайным образом бросают на стол. Найдите вероятность того, что вершина $A$ окажется восточнее двух других вершин.
Ответ:
Решение:
В квадрате с вершиной $A$ выбирается случайная точка $B$ и закрашивается прямоугольник с диагональю $AB$, две стороны которого лежат на сторонах квадрата. Рассмотрим событие $G$ «площадь закрашенного прямоугольника меньше половины площади квадрата». Докажите, что $$0{,}828\lt \mathrm{P}(G)\lt 0{,}875.$$
Ответ:
Решение:
В квадрате с вершиной $A$ выбирается случайная точка $B$ и закрашивается прямоугольник с диагональю $AB$, две стороны которого лежат на сторонах квадрата. Рассмотрим событие $H$ «площадь закрашенного прямоугольника больше половины площади квадрата». Докажите, что $$0{,}125\lt \mathrm{P}(H)\lt 0{,}172.$$
Ответ:
Решение: